初中幾何經(jīng)常會(huì)遇到題目中給出角平分線的問題，解題目標(biāo)往往是邊長(zhǎng)之間關(guān)系。

其實(shí)這類問題的解題方向非常明確，角平分線與邊長(zhǎng)相關(guān)的性質(zhì)比較常用的只有三個(gè)，其中角平分長(zhǎng)公式可以不掌握，也就是把角平分線的兩個(gè)性質(zhì)用活就行。這里按重要性程度的順序總結(jié)一下。

定理1：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。

定理1的逆定理：在角的內(nèi)部到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。

這個(gè)證明是非常簡(jiǎn)單直觀的。

在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線。那么過D做AB和AB的垂線，垂足分別為E和F。

因?yàn)椤螧AD=∠CAD（角平分線），∠AED=∠AFD=90°，AD=AD

那么△AED與△AFD全等，于是有DE=DF。證畢。

同理，也通過證明三角形全等證明其逆定理。

定理2：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，則AB/BD=AC/CD（也可表示為AB/AC =BD/CD）。

定理2的逆定理： 在△ABC中，若 AB/BD=AC/CD，則AD是∠BAC的平分線。

這個(gè)定理的描述非常簡(jiǎn)單優(yōu)美，證明需要一點(diǎn)小技巧。

證明：

在△ABC中，AD是∠BAC的平分線

過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF

∵2S△ABD=AB×DE且2S△ACD=AC×DF

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC

又∵S△ABD：S△ACD=BD：CD（同高，面積比例為底邊比例）

∴S△ABD:S△ACD=AB：AC=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

定理3：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，則AD2=AB×AC-BD×CD（角平分線長(zhǎng)公式）

這個(gè)定理的證明方法超出中學(xué)階段教材的內(nèi)容范疇，有興趣的可以去研究一下幾何中著名的斯特瓦爾特定理，根據(jù)斯特瓦爾特定理和角平分線的性質(zhì)可以證明。