分數(shù)法在本質(zhì)上是一種對稱的方法。在這里，我們通過討論研制點心的問題來說明分數(shù)法，我們需要在給定的區(qū)間內(nèi)選定一些點，在這些點上安排試驗。

分數(shù)法每次選兩個點，這兩個點關(guān)于區(qū)間[a，b]中心點是對稱的。具體表示如下：

x₁=a+p(b-a),x2=a+b-x₁

其中p為給定的分數(shù)，通常取p=1/3，稱這種方法為分數(shù)法。因為區(qū)間的中心點為x₀=a+(b-a)/2，當p<1>

a<>₁<>₀<>₂<>₂-x₀=x₀-x₁

所以，這兩個點是關(guān)于中心點對稱的。

在兩個選定的點上安排試驗，如果得到f(x₁)₂)，則認為合適點即合適的糖的比例在x₁和b之間，用x₁代替a；否則，則認為合適點在a和x₂之間，用x₂代替b。

然后，在新構(gòu)建的區(qū)間上重復(fù)上面的操作。顯然，這樣的操作是可以持續(xù)做下去的，最終可以得到滿意的結(jié)果。

許多學(xué)者，比如華羅庚（1910～1985）推薦在上述方法中取p=1-0. 618=0. 382，并且稱這樣的方法為優(yōu)選法。其中0. 618是一個很重要的數(shù)，這個數(shù)是我們曾經(jīng)討論過的方程。

x²+x-1=0 (1)

的一個近似解。從求根公式知道，這個方程的正解為(√5-1)/2，這個解是一個無理數(shù)，可以表示0.618033988，因此近似值為0.618.這個數(shù)就是大名鼎鼎的黃金分割數(shù)。我們來分析這個方程的意義。

考慮按比例把一條線段分為兩個部分的問題。不失一般性，令線段的長度為1，分為兩部分中有一部分為x，那么另一部分就是1- x。據(jù)說，古希臘柏拉圖學(xué)派的歐多克索斯（約前400～前347）研究過這個問題。

正如我們在《圖形與圖形關(guān)系的抽象》中介紹過的那樣，歐多克索斯深入地研究過線段的比例問題，許多研究專家分析，歐幾里得《幾何原本》中的第V卷和第Ⅻ卷的主要內(nèi)容就是取材于歐多克索斯的研究。

歐多克索斯認為，如果線段的長度之間滿足下面的比例，那么得到的線段分割是最完美的，并稱其為黃金分割（Golden Section）。這個比例為：

x：1= (1-x)：x

根據(jù)這個比例容易得到方程(1)，因此方程的解就是黃金分割的比例，容易驗證

(√5-1)/2：1=[1-(√5-1)/2]:(√5-1)/2

是滿足黃金分割的要求的。人們經(jīng)常把黃金分割的原理用于造型藝術(shù)設(shè)計，比如藝術(shù)品長與寬的比例；建筑物上線段的比例，門窗長與寬的比例，等等。

畫家達·芬奇（1452～1519）在他的繪畫中不僅使用了投影的方法，也較多地使用了黃金分割，據(jù)說他的名畫《蒙娜麗莎》中的臉就符合黃金分割的原理。

數(shù)值0. 618還與一個重要的數(shù)列極限有關(guān)。意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(1170～1250)曾經(jīng)周

游地中海沿岸諸國，我們在《數(shù)的表示》中曾經(jīng)介紹過，他回國后于1202年出版《算經(jīng)》一書，把印度的十進制的計數(shù)方法介紹給了歐洲。事實上，1228年他在《算經(jīng)》的修訂本中又加上了下面的“兔子問題”：

“某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假定每對兔子每月生一對小兔，而出生后兩個月就能生育。問從這對兔子開始，一年內(nèi)能繁殖多少對兔子？”

如果把這個問題一般化，就形成了著名的“斐波那契數(shù)列”：

1,1,2,3 ,5,8,13, 21,34,55 ,89 ,144,…

下面，我們來分析斐波那契數(shù)列。如果用h(n)表示上述數(shù)列的第n項，那么這個數(shù)列的通項公式可以表示為：

h(n)=h(n-1)+h(n-2)

非常有趣的是，這個數(shù)列前后兩項比值的極限近似為0.618,即當n→∞時，極限a=limh(n-1)/h(n)存在并且近似值為0.618。我們來證明這個結(jié)果。因為可以認為當：n→∞時，limh(n-1)/h(n)=limh(n-2)/h(n-1)=a。

在通項公式的等號兩邊同時除以h(n-1)后取極限，可以得到：1/a=1+a，這正是方程(1)的形式，于是就得到了我們所要的結(jié)論。

與任意取點安排試驗的方法比較，分數(shù)法或者優(yōu)選法是一種有目的選點的方法，這樣的方法，在同樣的精度下，可以減少試驗次數(shù)，因此可以減少經(jīng)費和人力?；蛘哒f，在同樣的試驗次數(shù)下，可以提高試驗的精度。

但是，利用分數(shù)法安排試驗，每次試驗之前必須知道上一次試驗的結(jié)果，這樣在整體上就可能會延長試驗的時間。

由此可見，在實際問題中一個普遍好的方法往往是不存在的，需要我們具體問題具體分析，尋找一個針對“這個”問題合適的方法。從哲學(xué)層面考慮，似乎“具體問題具體分析”有悖于數(shù)學(xué)強調(diào)的“普適性”。

事實并不是這樣，如果一個放之四海而皆準的好方法不存在，那么我們只能退而求其次，而退而求其次中最好的方法就是“分類”。

也就是說，我們希望尋求一種方法，使得這個方法在盡可能大的類中是好的，比如我們上面討論的問題，如果不突出強調(diào)時間，那么可以用分數(shù)法；如果突出強調(diào)時間，那么可以用任意取點的方法。

當然，還可以根據(jù)問題的背景創(chuàng)造新的方法，比如分批試驗的方法，逐步隨機試驗的方法等等。