怎樣想到用三角形面積公式？

初看這個(gè)問(wèn)題，感覺(jué)很無(wú)聊，求三角形面積，不用公式用什么？但隨著教學(xué)推進(jìn)過(guò)程中越來(lái)越多地出現(xiàn)了應(yīng)該使用面積公式，學(xué)生即始終想不到用它，于是返回來(lái)重新審視這一應(yīng)用最為廣泛的面積公式，三角形的面積等于底與高乘積的一半，應(yīng)該不簡(jiǎn)單。

最初級(jí)的應(yīng)用就是給出三角形的底和高，計(jì)算三角形的面積，使用到的運(yùn)算為乘法，現(xiàn)在在運(yùn)算上提升，已知面積求底，或求高，立刻轉(zhuǎn)變?yōu)槌?，再變下去，只是?jiǎn)單增加運(yùn)算量，并不值得。

換個(gè)方式考察，融入觀察圖形，這次應(yīng)用起來(lái)十分精彩，以下面兩道試題為例。

第一題

如圖，△ABC的面積為4cm2，AP與∠ABC的平分線垂直，垂足為P，則△PBC的面積為_(kāi)_________cm2.

解析：

條件元素有△ABC的面積，BP平分∠ABC，AP⊥BP，所求結(jié)論是△PBC的面積；

由△ABC的面積出發(fā)，求△PBC的面積，并且題目其它條件并無(wú)一個(gè)關(guān)于線段長(zhǎng)度，意味著用最初級(jí)的面積公式法不可行，因此我們必須尋找這兩個(gè)三角形面積之間的數(shù)量關(guān)系，并且由于△PBC在△ABC內(nèi)部且共邊，猜測(cè)它們是倍數(shù)關(guān)系，下面來(lái)證實(shí)。

BP是角平分線，同時(shí)也是AP的垂線，這兩種性質(zhì)的線重合，極易聯(lián)想到等腰三角形中的“三線合一”，那么，等腰三角形在哪里呢？不妨延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，如下圖：

我們很容易證明△ABP和△DBP中，∠BAD=∠BDA，于是BA=BD，得到等腰△ABD，然后根據(jù)三線合一，得到點(diǎn)P為AD中點(diǎn)；

至此本題的鑰匙拿到了，BP是△ABD的中線，CP是△ACD的中線，它們都可以將三角形分成面積相等的兩部分，于是S1=S2，S3=S4，而這四部分之和為4cm2，所以“各取一半”得到S2+S4=2，所以△PBC的面積為2cm2；

從本題思維導(dǎo)圖可以看出來(lái)，關(guān)鍵點(diǎn)其實(shí)在于三角形中線等分面積，而這個(gè)結(jié)論又是基于三角形面積公式的“等底等高”結(jié)論，因此學(xué)生需要由條件中的“角平分線”、“垂線”因素聯(lián)想到“中線”，而這三者全部集中于一條線段上，目前學(xué)段只有三線合一能做到，所以輔助線作法是延長(zhǎng)AP構(gòu)造等腰三角形，實(shí)際教學(xué)中，八年級(jí)學(xué)生很難想到這一層，多數(shù)奔著構(gòu)造全等三角形去了，甚至還有自以為是的學(xué)生用所謂的模型去嘗試，嘴里說(shuō)著中線倍長(zhǎng)延長(zhǎng)BP的，有誤認(rèn)為△ABC是等腰直角三角形去構(gòu)造手拉手模型的等，雖然是一道填空題，卻也著實(shí)讓某些學(xué)生原形畢露了。

第二題

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，分別作點(diǎn)A，B，C關(guān)于各自對(duì)邊的對(duì)稱點(diǎn)A'，B'，C'，若△A'B'C'的面積為48cm2，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_________cm

解析：

作圖非常關(guān)鍵，理解“關(guān)于各自對(duì)邊的對(duì)稱點(diǎn)”，即點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于BC對(duì)稱，點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)C與點(diǎn)C'關(guān)于AB對(duì)稱，如下圖：

圖中最容易發(fā)現(xiàn)的是一對(duì)全等三角形，△ABC≌△A'B'C，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，它們的對(duì)應(yīng)線段相等，那么問(wèn)題在于，它們的對(duì)應(yīng)線段除了對(duì)應(yīng)邊之外，還包括對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)高，哪一對(duì)才是我們需要的呢？

由于條件給出了△A'B'C'的面積，觀察這個(gè)三角形，線段CC'⊥AB，而AB∥A'B'是很容易證明出來(lái)的，所以CC'⊥A'B'，若將它延長(zhǎng)，不正好是△A'B'C'的高嗎？如下圖：

現(xiàn)在重點(diǎn)觀察線段C'E，它由三部分構(gòu)成，分別是CE、CD和C'D，由軸對(duì)稱性質(zhì)，CD=C'D，由全等三角形性質(zhì)，CD=CE，因此這三條線段彼此都相等，于是C'E=3CE，所以我們可以求出△A'B'C的面積，是△A'B'C'的三分之一，等于16cm2，故△ABC的面積也是16cm2，再由三角形面積公式，得到1/2BC·AC=16cm2，我們將其中的AC換成2BC，得到BC2=16，解得BC=4cm.

從本題思維導(dǎo)圖可以看出，AC=2BC其實(shí)是個(gè)伏筆，觸發(fā)方程的關(guān)鍵結(jié)論是△ABC的面積，仍然與上一題類似，從面積得到面積，并且△A'B'C'與△A'B'C同底，且高存在3倍的數(shù)量關(guān)系，而這個(gè)數(shù)量關(guān)系要想能觀察出來(lái)，又必須延長(zhǎng)DC得到整個(gè)△A'B'C'的高，平行線的關(guān)系也要能從軸對(duì)稱中推導(dǎo)出來(lái)，因此本題難度實(shí)際上在于找到各條件元素間的關(guān)聯(lián)，找不到，便會(huì)跟老師說(shuō)看不懂題目。

解題反思

這兩道與三角形面積有關(guān)的填空題，學(xué)生剛剛上手的時(shí)候，多數(shù)有點(diǎn)懵，不知從哪突破，也就是說(shuō)，軸對(duì)稱的本質(zhì)含義并未深入理解，更沒(méi)想到三角形面積公式在這兩道題中的使用。

我們返回到課堂教學(xué)中，三角形面積計(jì)算公式，學(xué)生真的理解了嗎？

求三角形的面積，小學(xué)生也知道是底乘以高再除以2，如果我們?cè)诮虒W(xué)中始終給出底和高來(lái)求面積，屬于機(jī)械重復(fù)，達(dá)不到深入理解這個(gè)公式的目的，在初中階段，對(duì)它的運(yùn)用更為靈活，底和高未必會(huì)直接從圖中反映出來(lái)，缺底或缺高的情況比比皆是，這種結(jié)構(gòu)不良類的習(xí)題，更考驗(yàn)學(xué)生的整體建構(gòu)能力，如何才能讓學(xué)生想到，是我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中孜孜以求的大成之境。

以三角形面積計(jì)算公式為例，首先要站在整個(gè)初中學(xué)段角度去看待它，在學(xué)習(xí)三角形、四邊形、平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等章節(jié)的過(guò)程中，從不同角度去考查學(xué)生對(duì)公式的理解；其次是在每一次解題過(guò)程中，如果因?yàn)闆](méi)有想到使用它，一定在要反思中點(diǎn)明，尤其是在對(duì)學(xué)生分析解題思路的時(shí)候，說(shuō)清為什么要這么想，引導(dǎo)學(xué)生多問(wèn)“為什么”，最后在學(xué)生解題過(guò)程中，有意識(shí)地彌補(bǔ)他們的知識(shí)體系里的漏洞，通過(guò)提示也行，反思也罷，這個(gè)環(huán)節(jié)不可少。

當(dāng)然，這一切的前提，是作為教師要多研題，去挖掘試題背后的知識(shí)框架，思考怎樣讓學(xué)生也建立起對(duì)應(yīng)的框架。